LA CINEMATICA Y PROBLEMAS RESUELTOS

LA CINEMÁTICA 

CINEMÁTICA: parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos, independientemente de sus causas.

    Estudia cómo se mueven los cuerpos pero no por qué. Describe el movimiento y calcula las características del mismo pero no lo explica.

    * Es una parte casi completamente matemática de la Física y carece casi de contenido físico.

Un cuerpo se mueve cuando cambia su posición respecto a unas referencias determinadas.

  En Física para determinar la posición de un cuerpo se utiliza generalmente un sistema de referencia cartesiano.

Movimiento absoluto y relativo.

    El estado de movimiento o reposo de un cuerpo depende siempre del sistema de referencia que elijamos para estudiarlo.

    No se conoce ningún sistema de referencia absoluto. Todos los movimientos son relativos.

1. CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL MOVIMIENTO.

    1. Posición.

    En todo el estudio de la Cinemática y Dinámica de este curso vamos a utilizar la aproximación del punto material: consideraremos a los cuerpos que estudiamos como puntos (objetos sin dimensiones) dotados de masa. Si esto es así para dar la posición de un cuerpo nos basta con indicar el punto que ocupa.

    Una vez fijado el sistema de referencia que vamos a utilizar la posición de un cuerpo se determina mediante el vector posición, r: vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto en el que se encuentra el cuerpo.

    Se mide en metros (SI).

    2. Trayectoria.

    Es la línea formada por todos los puntos recorridos por el cuerpo en su movimiento.

    3. Vector desplazamiento (Δr).

    Se define como el vector que une el punto inicial (r₁) y el final (r₂) del moviendo de un cuerpo.

Δr = r₂ – r₁   (1)

    Indica cómo (cuánto y en qué dirección y sentido) ha cambiado la posición del cuerpo.

    Se mide en metros (SI).

4. Espacio recorrido (s).

    Distancia recorrida por el cuerpo en su movimiento medida sobre su trayectoria.

    Es un escalar, no un vector. Se mide en metros (SI)

    Solo coincide con el módulo del vector desplazamiento si el cuerpo se ha movido en línea recta y sin cambiar de sentido.

5. EL TIEMPO (t):

   Es esencial saber expresar el intervalo de tiempo transcurrido mientras se realiza el cambio en la posición: 

                                      t = t - t₀

   El intervalo de tiempo no puede nunca ser negativo, el tiempo siempre cuenta hacia adelante, nunca vuelve atrás.

6. VELOCIDAD (v):

Nos expresa la rapidez con la que cambia la posición de un móvil entre dos instantes de su recorrido. Nosotros estudiaremos en primer lugar, la posición y el cambio en la posición sobre la trayectoria.

La velocidad dependerá del cambio en la posición y del intervalo de tiempo transcurrido:

v = f( s,  t)       si para un mismo tiempo    s ­  Þ  v ­

        

    si para el mismo desplazamiento     t ­ Þ   v ¯

         La expresión matemática que relaciona v con s y t es, por lo tanto:

                                      V=Ds/Dt                      

                                                                 

Su unidad en el sistema Internacional es el m /s. Otra unidad es el km /h.

7. VELOCIDAD MEDIA (v_m).

    La velocidad media (v_m) de un cuerpo en un intervalo de tiempo (Δt) se define como:

                            Vm= r/t                         

    donde Δr es el desplazamiento del cuerpo en ese intervalo de tiempo.

    Representa la velocidad constante que debería haber tenido el móvil durante el intervalo de tiempo Δt para realizar el desplazamiento Δr.

    Es un vector y se mide en m/s (SI).

8. VELOCIDAD INSTANTANEA(v).

    Intuitivamente se puede decir que es la velocidad que tiene un cuerpo en un instante dado.

    Matemáticamente se define como el límite de la velocidad media (en un intervalo de tiempo que contiene el instante indicado) cuando el intervalo de tiempo tiende a cero (y por tanto se convierte en ese instante):

PROBLEMAS RESUELTOS

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

PARTE 1

Resolver:

1) Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular:

a) Aceleración.

b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s?

2) Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular:

a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?

b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

3) ¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar una velocidad de 60 km/h, si parte del reposo acelerando constantemente con una aceleración de 20 km/h²?

4) Un móvil parte del reposo con una aceleración de 20 m/s² constante. Calcular:

a) ¿Qué velocidad tendrá después de 15 s?

b) ¿Qué espacio recorrió en esos 15 s?

5) Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una velocidad de 90 km/h, si su aceleración es constante, calcular:

a) ¿Cuánto vale la aceleración?

b) ¿Qué espacio recorrió en esos 5 s?

c) ¿Qué velocidad tendrá los 11 s?

6) Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en recorrer 20 m. ¿Qué tiempo necesitará para alcanzar 40 km/h?

7) Un móvil se desplaza con MUV partiendo del reposo con una aceleración de 51840 km/h², calcular:

a) ¿Qué velocidad tendrá los 10 s?

b) ¿Qué distancia habrá recorrido a los 32 s de la partida?

c) Representar gráficamente la velocidad en función del tiempo.

8) Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 30 m/s², transcurridos 2 minutos deja de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar:

a) ¿Cuántos km recorrió en los 2 primeros minutos?

b) ¿Qué distancia habrá recorrido a las 2 horas de la partida?

SOLUCIONES

1) Datos:

v₀ = 0 m/s

v_f = 588 m/s

t = 30 s

Ecuaciones:

(1) v_f = v₀ + a.t

(2) x = v₀.t + a.t²/2

a) De la ecuación (1):

v_f = v₀ + a.t Þ v_f = a.t Þ a = v_f/t

a = (588 m/s)/ (30 s) Þ a = 19,6 m/s²

b) De la ecuación (2):

x = v₀.t + a.t²/2 Þ  x = a.t²/2 Þ x = (19, 6 m/s²). (30 s)²/2

x = 8820 m

2) Datos:

t = 25 s

x = 400 m

v_f = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) v_f = v₀ + a.t

(2) x = v₀.t + a.t²/2

a) De la ecuación (1):

v_f = v₀ + a.t Þ 0 = v₀ + a.t Þ a = -v₀/t (3)

Reemplazando (3) en (2):

x = v₀.t + a.t²/2 Þ x = v₀.t + (-v₀/t).t²/2

x = v₀.t - v₀.t/2 Þ x = v₀.t/2 Þ v₀ = 2.x/t

v₀ = (2.400 m)/(25 s) Þ v₀ = 32 m/s

b) De la ecuación (3):

a = (-32 m/s)/ (25 s) Þ a = -1, 28 m/s²

3) Datos:

v₀ = 0 km/h

v_f = 60 km/h

a = 20 km/h²

Aplicando:

v_f = v₀ + a.t Þ v_f = a.t Þ t =v_f/a

t = (60 km/h)/ (20 km/h²) Þ t = 3 h

4) Datos:

v₀ = 0 m/s

a = 20 m/s²

t = 15 s

Ecuaciones:

(1) v_f = v₀ + a.t

(2) x = v₀.t + a.t²/2

a) De la ecuación (1):

v_f = (20 m/s²). (15 s) Þ v_f = 300 m/s

b) De la ecuación (2):

x = v₀.t + a.t²/2 Þ x = a.t²/2 Þ x = (20 m/s²). (15 s)²/2 Þ x = 2250 m

5) Datos:

v₀ = 0 km/h = 0 m/s

v_f = 90 km/h = (90 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 25 m/s

t = 5 s

Ecuaciones:

(1) v_f = v₀ + a.t

(2) x = v₀.t + a.t²/2

a) De la ecuación (1):

v_f = a.t Þ t =v_f/a

a = (25 m/s)/ (5 s) Þ a = 5 m/s²

b) De la ecuación (2):

x = v₀.t + a.t²/2 Þ x = a.t²/2 Þ x = (5 m/s²). (5 s)²/2 Þ x = 62,5 m

c) para t = 11 s aplicamos la ecuación (1):

v_f = (5 m/s²). (11 s) Þ v_f = 55 m/s

6) Datos:

v₀ = 0 m/s

t = 10 s

x = 20 m

v_f2 = 40 km/h = (40 km/h). (1000 m/1 km). (1 h/3600 s) = 11, 11 m/s

Ecuaciones:

(1) v_f = v₀ + a.t

(2) x = v₀.t + a.t²/2

De la ecuación (1):

v_f = a.t Þ t =v_f/a (3)

Reemplazando (3) en (2):

x = (v_f/t).t²/2 Þ x = v_f. t/2 Þ v_f = 2.x/t

v_f = 2. (20 m)/ (10 s) Þ v_f = 4 m/s

Con éste dato aplicamos nuevamente la ecuación (1):

a = (4 m/s)/ (10 s) Þ a = 0,4 m/s²

Finalmente con la aceleración y la velocidad final dada:

v_f2 = v₀ + a.t Þ v_f2 = a.t Þ t = v_f2/a

t = (11, 11 m/s)/ (0, 4 m/s²) Þ t = 27, 77 s

7) Datos:

v₀ = 0 km/h = 0 m/s

a = 51840 km/h² = (51840 km/h²). (1000 m/1 km). (1 h/3600 s). (1 h/3600 s) = 4 m/s²

t₁ = 10 s

t₂ = 32 s

Ecuaciones:

(1) v_f = v₀ + a.t

(2) x = v₀.t + a.t²/2

De la ecuación (1):

v_f = (4 m/s²). (10 s) Þ v_f = 40 m/s

De la ecuación (2):

x = (4 m/s²). (32 s)²/2 Þ x = 2048 m

8) Datos:

v₀ = 0 m/s

a = 30 m/s²

t₁ = 2 min = 120 s

t₂ = 2 h = 7200 s

Ecuaciones:

(1) v_f = v₀ + a.t

(2) x = v₀.t + a.t²/2

a) De la ecuación (2):

x = (30 m/s²). (120 s)²/2 Þ x = 216000 mÞ x = 216 km

b) De la ecuación (1) hallamos la velocidad a los 2 min:

v_f = (30 m/s²). (120 s) Þ v_f = 3600 m/s

pero v_f = v₀ para la segunda parte y para un tiempo de:

t = t₂ - t₁ Þ t = 7200 s - 120 s Þ t = 7080 s

x = v.t Þ x = (3600 m/s). (7080 s) Þ x = 25488000 m Þ x = 25488 km

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

PARTE 2

 

Resolver

1) Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 120 km/h, demora 10 s en detenerse. Calcular:

a) ¿Qué espacio necesitó para detenerse?

b) ¿Con qué velocidad chocaría a otro vehículo ubicado a 30 m del lugar donde aplicó los frenos?

2) Un ciclista que va a 30 km/h, aplica los frenos y logra detener la bicicleta en 4 segundos. Calcular:

a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

b) ¿Qué espacio necesito para frenar?

3) Un avión, cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que le generan una desaceleración de 20 m/s², necesita 100 metros para detenerse. Calcular:

a) ¿Con qué velocidad toca pista?

b) ¿Qué tiempo demoró en detener el avión?

4) Un camión viene disminuyendo su velocidad en forma uniforme, de 100 km/h a 50 km/h. Si para esto tuvo que frenar durante 1.500 m. Calcular:

a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

b) ¿Cuánto tiempo empleó para el frenado?

5) La bala de un rifle, cuyo cañón mide 1,4 m, sale con una velocidad de 1.400 m/s. Calcular:

a) ¿Qué aceleración experimenta la bala?

b) ¿Cuánto tarda en salir del rifle?

6) Un móvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25 s, y recorre una distancia de 400 m hasta detenerse. Determinar:

a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?

b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

7) Un auto marcha a una velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante en que ve el pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegar al pozo. Determinar a qué distancia del obstáculo el conductor aplico los frenos, suponiendo que la aceleración fue constante.

8) Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 3 m/s², determinar:

a) ¿Qué velocidad tendrá a los 8 s de haber iniciado el movimiento?

b) ¿Qué distancia habrá recorrido en ese lapso?

Desarrollo:

1) Datos:

v₀ = 120 km/h = (120 km/h). (1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 33,33 m/s

v_f = 0 km/h = 0 m/s

t = 10 s

Ecuaciones:

(1) v_f = v₀ + a.t

(2) x = v₀.t + a.t²/2

a) De la ecuación (1):

v_f = v₀ + a.t Þ 0 = v₀ + a.t  Þ a = -v₀/t

a = (-33, 33 m/s)/ (10 s) Þ a = -3, 33 m/s²

Con éste dato aplicamos la ecuación (2):

x = (33, 33 m/s). (10 s) + (-3, 33 m/s²). (10 s)²/2  Þ x = 166, 83 m

b) Para x₂ = 30 m y con la aceleración anterior, conviene aplicar la ecuación opcional:

v_f² - v₀² = 2.a.x Þ v_f² = v₀² + 2.a.x Þ v_f² = (33, 33 m/s)² + 2. (-3, 33 m/s²). (30 m)

v_f = 30, 18 m/s Þ v_f = 106, 66 km/h

2) Datos:

v₀ = 30 km/h = (30 km/h). (1000 m/1 km). (1 h/3600 s) = 8,33 m/s

v_f = 0 km/h = 0 m/s

t = 4 s

Ecuaciones:

(1) v_f = v₀ + a.t

(2) x = v₀.t + a.t²/2

a) De la ecuación (1):

v_f = v₀ + a.t Þ0 = v₀ + a.t Þ a = -v₀/t

a = (-8,33 m/s)/(4 s) Þ a = -2,08 m/s²

b) Con el dato anterior aplicamos la ecuación (2):

x = (8, 33 m/s).(4 s) + (-2, 08 m/s²). (4 s)²/2 Þ x = 16, 67 m

3) Datos:

a = - 20 m/s²

x = 100 m

v_f = 0 m/s

a) Aplicando:

v_f² - v₀² = 2.a.x Þ 0 - v₀² = 2.a.x  Þ  v₀² = - 2. (-20 m/s²).(100 m)

v_f = 63, 25 m/s

b) Aplicando:

v_f = v₀ + a.t Þ 0 = v₀ + a.t Þ  t = -v₀/a

t = - (63,25 m/s)/ (- 20 m/s²) Þ t = 3, 16 s

4) Datos:

v₀ = 100 km/h = (100 km/h). (1000 m/1 km). (1 h/3600 s) = 27, 78 m/s

v_f = 50 km/h = (50 km/h). (1000 m/1 km). (1 h/3600 s) = 13, 89 m/s

x = 1.500 m

a) Aplicando:

a = -0,193 m/s²

b) Aplicando:

v_f = v₀ + a.t Þ t = (v_f - v₀)/a

t = (27, 78 m/s - 13, 89 m/s)/ (- 0, 193 m/s²) Þ t = 72 s

5) Datos:

v₀ = 0 m/s

v_f = 1400 m/s

x = 1, 4 m

a) Aplicando:

a = 700000 m/s²

b) Aplicando:

v_f = v₀ + a.t Þ t = v_f /a

t = (1400 m/s)/ (700000 m/s²) Þ t = 0,002 s

6) Datos:

t = 25 s

x = 400 m

v_f = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) v_f = v₀ + a.t

(2) x = v₀.t + a.t²/2

a) De la ecuación (1):

v_f = v₀ + a.t Þ 0 = v₀ + a.t Þ a = -v₀/t (3)

Reemplazando (3) en (2):

x = v₀.t + a.t²/2  x = v₀.t + (-v₀/t).t²/2

x = v₀.t - v₀.t/2 Þ x = v₀.t/2 Þ v₀ = 2.x/t

v_f = 2. (400 m)/ (25 s) Þ v_f = 32 m/s

b) Con éste dato aplicamos nuevamente la ecuación (1):

a = (-32 m/s)/ (25 s) Þ a = -1, 28 m/s²

7) Datos:

v₀ = 90 km/h = (90 km/h). (1000 m/1 km). (1 h/3600 s) = 25 m/s

v_f = 0, 2. 25 m/s = 5 m/s

t = 4 s

Ecuaciones:

(1) v_f = v₀ + a.t

(2) x = v₀.t + a.t²/2

a) De la ecuación (1):

v_f = v₀ + a.t Þ a = (v_f - v₀)/t

a = (25 m/s - 5 m/s)/ (4 s) Þ a = 5 m/s²

Con la aceleración y la ecuación (2):

x = (25 m/s). (4 s) + (5 m/s²).(4 s)²/2 Þ x = 60 m

8) Datos:

a = 3 m/s²

t = 8 s

v₀ = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) v_f = v₀ + a.t

(2) x = v₀.t + a.t²/2

a) De la ecuación (1):

v_f = (3 m/s²). (8 s) Þ v_f = 24 m/s

b) De la ecuación (2):

x = (3 m/s²). (8 s)²/2 Þ x = 96 m

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

PARTE 3

Resolver:

1) Dos puntos A y B están separados por una distancia de 100 m. En un mismo momento pasan dos móviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con M.R.U., de tal manera que uno de ellos tarda 2 s en llegar al punto B y el otro 1,5 s en llegar al punto A. Hallar:

a) El punto de encuentro.

b) El instante del encuentro.

2) Resolver el problema anterior, suponiendo que el primer móvil partió 0,1 s antes que el otro.

3) Se tira una bolita A con una velocidad de 10 m/s y en el mismo momento pero, 5 m más adelante, se tira una bolita B con una velocidad de 8 m/s.

a) ¿Cuánto tiempo después la bolita A pasa a la B?

b) ¿A qué distancia de la posición inicial de la bolita B?

4) En el semáforo de una avenida de doble mano se cruzan un colectivo con una velocidad constante de 40 km/h y un camión con una velocidad constante de 45 km/h. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que se encuentren a 30 cuadras de distancia uno del otro?

5) Dos ciclistas pasan al mismo tiempo por un punto con velocidades constantes: 30 km/h y 15 km/h. ¿Qué distancia los separará luego de 2 minutos?

6) Sale un avión de A hacia B con una velocidad constante de 500 km/h, al mismo tiempo otro avión con la misma dirección pero en sentido contrario despega con velocidad constante de 300 km/h. Si los puntos A y B están separados 1000 km, calcular:

a) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse?

b) ¿A qué distancia de A lo lograrán?

7) Un barco zarpa de A con destino a B con una velocidad de 80 km/h, luego de 3 horas otro sale de B con el mismo sentido que el primero pero, con una velocidad de 50 km/h, si la distancia entre A y B es de 500 km, calcular:

a) ¿Cuánto tiempo después que zarpó el segundo se encontrarán?

b) ¿A qué distancia de B?

8) Un motociclista pasa por un semáforo con velocidad constante de 50 km/h, en el mismo momento un camión pasa por el mismo lugar y con igual sentido a una velocidad constante de 80 km/h, ¿cuánto tiempo después estarán separados por 300 m?.

Desarrollo:

1) Datos:

d _AB = 100 m

t _AB = 2 s

t _BA = 1, 5 s

Ecuaciones:

v _AB = d _AB/t _AB (1)

v _BA = d _AB/t _BA (2)

a) Para el punto de encuentro:

d _AB = d _AO + d _BO (3)

Siendo el punto "O" el punto de encuentro.

Como ambos comienzan su movimiento en el mismo instante el tiempo de encuentro es el mismo para ambos móviles.

t _AO = t _BO = t _E

Para el encuentro las (1) y (2) ecuaciones quedan:

v _AB = d _AO/t _E Þ d _AB/t _AB = d _AO/t _E

v _BA = d _BO/t _E Þ d _AB/t _BA = d _BO/t _E

Despejamos (t _E) y luego igualamos:

t _E = t _AB.d _AO/d _AB (4)

t _E = t _BA.d _BO/d _AB (5)

t _AB.d _AO/d _AB = t _BA.d _BO/d _AB Þ t _AB.d _AO = t _BA.d _BO

De la ecuación (3):

d _AO = d _AB - d _BO

t _AB. (d _AB - d _BO) = t _BA.d _BO

t _AB.d _AB - t _AB.d _BO = t _BA.d _BO

t _AB.d _AB = t _AB.d _BO + t _BA.d _BO

t _AB.d _AB = (t _AB + t _BA).d _BO

d _BO = t _AB.d _AB/ (t _AB + t _BA)

d _BO = (2 s) (100 m)/ (2 s + 1,5 s) Þ d _BO = 57, 14 m (desde el punto B)

ó

d _AO = 42, 86 m (desde el punto A)

b) Empleando la ecuación (4) ó (5):

t _E = (2 s). (42, 86 m)/ (100 m) Þ t _E = 0, 86 s

2) Datos:

d _AB = 100 m

t _AB = 2 s

t _BA = 1, 5 s

Ecuaciones:

v _AB = d _AB/t _AB (1)

v _BA = d _AB/t _BA (2)

El tiempo empleado por el móvil "A" para recorrer los 100 m es el mismo, solamente comenzó 0,1 s antes, por lo tanto cuando el móvil "B" comienza su recorrido, el móvil "A" ya recorrió cierto espacio. De la ecuación (1):

v _AB = (100 m)/ (2 s) Þ v _AB = 50 m/s

La distancia inicial es:

Δd = v _AB. (0, 1 s) Þ Δd = (50 m/s). (0, 1 s) Þ Δd = 5 m

a) Para el punto de encuentro:

d _AB = d _AO + 5 m + d _BO (3)

Siendo el punto "O" el punto de encuentro.

Como ambos comienzan su movimiento en el mismo instante el tiempo de encuentro es el mismo para ambos móviles.

t _AO - 0, 1 s = t _BO = t _E

Luego continuamos como en el ejercicio (1):

Para el encuentro las (1) y (2) ecuaciones quedan:

v _AB = d _AO/t _E Þ d _AB/t _AB = d _AO/t _E

v _BA = d _BO/t _E Þ d _AB/t _BA = d _BO/t _E

Despejamos (t _E) y luego igualamos:

t _E = t _AB.d _AO/d _AB (4)

t _E = t _BA.d _BO/d _AB (5)

t _AB.d _AO/d _AB = t _BA.d _BO/d _AB Þ t _AB.d _AO = t _BA.d _BO

De la ecuación (3):

d _AO = d _AB - d _BO - 5 m

t _AB. (d _AB - d _BO - 5 m) = t _BA.d _BO

t _AB.d _AB - t _AB.d _BO - t _AB. (5 m) = t _BA.d _BO

t _AB.d _AB - t _AB. (5 m) = t _AB.d _BO + t _BA.d _BO

t _AB. (d _AB - 5 m) = (t _AB + t _BA). d _BO

d _BO = t _AB.d _AB (d _AB - 5 m)/ (t _AB + t _BA)

d _BO = (2 s) (100 m - 5 m)/ (2 s + 1,5 s) Þ d _BO = 54, 29 m (desde el punto B)

ó

d _AO = 45, 71 m (desde el punto A)

b) Empleando la ecuación (4) ó (5):

t _E = (1,5 s). (54, 29 m)/ (100 m) Þ t _E = 0, 81 s

3) Datos:

v _A = 10 m/s

v _B = 8 m/s

d = 5 m

Ecuaciones:

v _A = d _A/t _A (1)

v _B = d _B/t _B (2)

v

Para la distancia:

d _A - 5 m = d _B (3)

Las ecuaciones (1) y (2) para el encuentro:

v _A = d _A/t _E (4)

v _B = (d _A - 5 m)/t _E (5)

a) Despejando d _A e igualando:

v _A.t _E = d _A

v _B.t _E + 5 m = d _A

v _A.t _E = v _B.t _E + 5 m

v _A.t _E - v _B.t _E = 5 m

(v _A - v _B).t _E = 5 m

t _E = (5 m)/ (v _A - v _B)

t _E = (5 m)/ (10 m/s - 8 m/s) Þ t _E = 2, 5 s

b) De la ecuación (4):

d _A = (10 m/s). (2,5 s) Þ d _A = 25 m

De la ecuación (3):

d _B = 25 m - 5 m Þ d _B = 20 m

4) Datos:

v _A = 40 km/h

v _B = 45 km/h

d = 30 cuadras = 3 km

Ecuaciones:

v _A = d _A/t _A (1)

v _B = d _B/t _B (2)

d = d _A + d _B Þ d _A = d - d _B (3)

El tiempo empleado para alejarse es el mismo.

t _A = t _B = t (4)

Las ecuaciones (1) y (2) para el encuentro:

v _A = (d - d _B)/t

v _B = d _B/t

Despejando de ambas d _B e igualando:

v _A = (d - d _B)/t Þ v _A.t - d = d _B

v _B = d _B/t Þ v _B.t = d _B

v _A.t - d = v _B.t

v _A.t - v _B.t = d

(v _A - v _B).t = d

t = d/ (v _A - v _B)

Teniendo en cuenta que las velocidades son opuestas:

t = (3 km)/ [40 km/h - (-45 km/h)] Þ t = 0,035294 h

t = 2 min 7 s

5) Datos:

v _A = 30 km/h = (30 km/h). (1000 m/km)/ (3600 s/h) = 8, 33 m/s

v _B = 15 km/h (15 km/h). (1000 m/km)/ (3600 s/h) = 4, 17 m/s

t = 2 min = 120 s

Ecuaciones:

v _A = d _A/t _A (1)

v _B = d _B/t _B (2)

Despejando la distancia de (1) y (2):

v _A.t _A = d _A Þ d _A = (8, 33 m/s). (120 s) Þ d _A = 1000 m

v _B.t _B = d _B Þ d _B = (4, 17 m/s).(120 s) Þ d _B = 500 m

La diferencia entre ambos es:

d = d _A - d _B Þ d = 1000 m - 500 m Þ d = 500 m

6) Datos:

v _A = 500 km/h

v _B = 300 km/h

d = 1000 km

Ecuaciones:

v _A = d _A/t _A (1)

v _B = d _B/t _B (2)

Como parten en el mismo instante el tiempo de encuentro es igual para ambos:

t _EA = t _EB = t _E (3)

No así con la distancia:

d _EA + d _EB = d (4)

Pero:

d _A = d _B = d

Las ecuaciones (1) y (2) quedan:

v _A = d _EA/t _E (5)

v _B = d _EB/t _E (6)

De (4):

d _EA = d - d _EB (7)

Reemplazando (7) en (5):

v _A = (d - d _EB)/t _E (5)

v _B = d _EB/t _E (6)

Despejando de ambas t _E:

t _E = (d - d _EB)/v _A (8)

t _E = d _EB/v _B (9)

Igualando (8) y (9):

(d - d _EB)/v _A = d _EB/v _B

d.v _B - d _EB.v _B = d _EB.v _A

d.v _B = d _EB.v _B + d _EB.v _A

d.v _B = d _EB. (v _B + v _A)

d _EB = d.v _B/ (v _B + v _A)

d _EB = (1000 km). (300 km/h)/ (300 km/h + 500 km/h) Þ d _EB = 375 km (de B)

Empleando la ecuación (7):

d _EA = 1000 km - 375 km Þ d _EA = 625 km (respuesta b)

Empleando la ecuación (9):

t _E = (375 km)/ (300 km/h) Þ t _E = 1, 25 h Þ t _E = 1 h 15 min (respuesta a)

7) Datos:

v _A = 80 km/h

v _B = 50 km/h

Δt = 3 h

d _AB = 500 km

Ecuaciones:

v _A = d _A/t _A (1)

v _B = d _B/t _B (2)

t _EA = t _EB + 3 h = t _E (3)

d _EA = d _EB + 500 km = d _E (4)

Reemplazando:

v _A = d _EA/t _EA Þ v _A = (d _EB + 500 km)/(t _EB + 3 h)

a) Despejando d _EB:

v _A.(t _EB + 3 h) = d _EB + 500 km Þ v _A.t _EB + v _A.3 h - 500 km = d _EB

v _B.t _EB = d _EB (5)

Igualando:

v _A.t _EB + v _A.3 h - 500 km = v _B.t _EB

v _A.t _EB - v _B.t _EB = -v _A.3 h + 500 km

(v _A - v _B).t _EB = -v _A.3 h + 500 km

t _EB = (-v _A.3 h + 500 km)/ (v _A - v _B) Þ t _EB = [-(80 km/h).3 h + 500 km]/ (80 km/h - 50 km/h)

t _EB = 8, 67 h Þ t _EB = 8 h 40 min

b) De la ecuación (5):

d _EB = (50 km/h). (8, 67 h) Þ d _EB = 433, 33 km

8) Datos:

v _A = 50 km/h

v _B = 80 km/h

d = 300 m = 0,3 km

Ecuaciones:

v _A = d _A/t _A (1)

v _B = d _B/t _B (2)

El tiempo es el mismo para ambos:

t _A = t _B = t

y

d = d _B - d _A Þ d _B = d + d _A

Las ecuaciones (1) y (2) quedan:

v _A = d _A/t

v _B = (d + d _A)/t

Despejando d _A e igualando:

v _A.t = d _A

v _B.t - d = d _A

v _A.t = v _B.t - d Þ - v _A.t + v _B.t = d Þ (v _B - v _A).t = d Þ t = d/(v _B - v _A)

t = (0,3 km)/(80 km/h - 50 km/h) Þ t = 0,1 h Þ t = 36 s