SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTANEAS O DE PRIMER GRADO

SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO

Como ya hemos visto vista, la expresión Ax+By+C=0 representa la ecuación lineal o de primer grado en dos variables. Cuando los valores de X e Y que verifican dos o más ecuaciones de primer grado dadas son los mismos, decimos que dichas ecuaciones forman un SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO.

Antes de entrar en detalles de resoluciones de estos sistemas de ecuaciones, consideraremos lo siguiente:

ECUACIONES EQUIVALENTES

Son aquellas ecuaciones que solo se diferencian por un múltiplo constante, es decir, que cualquiera de ellas puede obtener multiplicando la otra por dicha constante. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienes las mismas soluciones. Ejemplo:

5x+3y=12

10x+6y=24

Estas ecuaciones son equivalentes ya que la segunda se obtiene al multiplicar la primera por dos y a su vez la primera se puede obtener multiplicando por la segunda ½.

ECUACIONES INDEPENDIENTES

Son aquellas que no obtienen una de la otr
a. Ejemplo:

3x-y=13

5x-y=1

Cuando un sistema de ecuaciones tiene solución se llaman sistemas compatibles y si no tiene, se llaman sistemas incompatibles.

Existen diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones simultaneas:

METODO DE REDUCCION

METODO DE SUSTITUCION

METODO DE IGUALACION

Método de reducción

Ø  Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.

Ø  Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.

Ø  Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

 15x - 9y = 1

 -15x + 20y = 5

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación,

 11Y=11
y=1

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la x desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sustituyendo y por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

 5X-3=2

que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es   X=1.

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

a=b

a=c

donde a,b , y c representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

B=C

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en  ni en , entonces la ecuación

B=C , no contendría dicha incógnita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos.

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye  por su solución en otras ecuaciones dónde aparezca  para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

2x-3y=-1

2x+4y=6

es equivalente a este otro

2x=-1+3x

X=-1+3x/2

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en y del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

 -1+3y=6-4y

que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es   Y=1.

Sustituyendo y por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

 2x-3=-1

que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es   x=1

Método de sustitución Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma Ax+By+C. Entonces podemos despejar  en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:  (f-e). b+c=d Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida. Aquí   a,b,c,d,e  y  f  son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema. Ejemplo Intentemos resolver 4x+3y=7 2x-y=1 La primera ecuación se puede reescribir de la forma  2.(2x) + 3y=7 Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que  2x=1+y Sustituyendo      por 1+y en 2.(2x) + 3y=7 se tiene que  2. (1+y) +3y= 7 que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es y=1. Sustituyendo  por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita 4+3y=7 cuya solución es   X=1.